Disciplina - DQF10648 Eletromagnetismo I¶

Aula em 22/07/2021 - Semestre 2021/1 EARTE¶

DQF - CCENS - UFES/Alegre ¶

Professor : Roberto Colistete Jr.¶

"Capítulo 2 - Eletrostática" do livro Griffiths ¶

Tópicos de hoje :

(Continuação) Teorema das Cascas Esféricas (homogêneas) para campo elétrico $\vec{E}$;

TAREFA : cálculo da integral de E_{II} do teorema das cascas esféricas, para aula seguinte;

Divergente e rotacional de campo elétrico $\vec{E}$;

Lei de Gauss na forma diferencial;

Exercícios de cálculo aplicado de operadores diferenciais vetoriais.

(Continuação) Teorema das Cascas Esféricas (homogêneas) para campo elétrico $\vec{E}$¶

Tal teorema de cascas esféricas foi inicialmente desenvolvido pelo Issac Newton, porém para campo gravitacional $\vec{g}$, e é um assunto discutido em Ensino de Física e História da Física, dada a importância histórica para desenvolvimento da Física clássica e uma das primeiras aplicações do Cálculo Diferencial e Integral em que Issac Newton foi co-desenvolvedor :

Teorema das cascas esféricas - Wikipedia;

Shell theorem - Wikipedia;

Gravity Force of a Spherical Shell - HyperPhysics e Gravity Force Inside a Spherical Shell - HyperPhysics

Lecture 37: Superposition and the Shell heorems - Erich Varnes' Teaching Page - University of Arizona;

Newton's Shell Theorem - Kansas State University;

Newton’s Shell Theorem via Archimedes’s Hat Box and Single-Variable Calculus - University of Pennsylvania.

O Teorema das Cascas Esféricas (homogêneas) para campo elétrico $\vec{E}$ diz que o campo elétrico $\vec{E}$ :

interno à casca esférica é nulo;

externo à casca esférica é igual ao campo elétrico da carga total da casca esférica posicionada no centro da casca esférica.

Em linguagem mais matemática, se a densidade superficial de cargas elétricas for constante, $\lambda = \lambda_0 = \text{cte}$, na casca esférica de raio $R$ centrada na origem, o observador (carga-teste) na posição $\vec{r}_0$ mede :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \vec{0}\,\frac{N}{C} \,\,\,\,\,\, \text{se }\,\,\, r_0 < R $$$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{Q\,\vec{r}_0}{4\pi\epsilon_0\,r_0^3} \,\,\,\,\,\, \text{se }\,\,\, r_0 > R $$

O campo elétrico $\vec{E}$ para uma casca esférica carregada eletricamente pode ser resolvido via integral de superfície com densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}')$ na superfície $S$ da casca esférica :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma(\vec{r}')\,\vec{r}\,dA'}{|\vec{r}|^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma(\vec{r}')(\vec{r}_0-\vec{r}')\,dA'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Ao adotar distribuição homogênea de carga elétrica na superfície $S$ da casca esférica, i. e., densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}') = \sigma_0 = \text{cte}$ :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{\sigma_0}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{(\vec{r}_0-\vec{r}')\,dA'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Por exemplo, usando coordenadas esféricas $(r, \phi, \theta)$, com $0 \le \phi \le \pi$ (ângulo de inclinação em relação ao eixo $z$) e $0 \le \theta \le 2\pi$ (ângulo azimutal, no plano $xy$, a partir do eixo $x$), com o observador fora da casca esférica :

$image.png$

sendo que $ dA' = h_{\phi'} h_{\theta'}\,d\theta' d\phi' = (r)(r \sin\phi') d\theta' d\phi' = r^2 \sin\phi'\,d\theta' d\phi' $, bem como $r = R$ pois a casca esférica tem raio $R$, então :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{\sigma_0}{4\pi\epsilon_0} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{(\vec{r}_0-\vec{r}')\,R^2 \sin\phi'\,d\theta'\,d\phi'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Resta então substituir os vetores $\vec{r}_0$ e $\vec{r}$ em componentes esféricas porém usando vetores base cartesianos (tal que a diferença de vetores-posição faça sentido usando os mesmos vetores base), algebrismo e (tentativa de) resolver a integral, que não é de fácil solução.

Usando duas integrais simples no lugar de uma integral dupla¶

Novamente podemos evitar tal integral dupla de superfície, trocando por duas integrais simples, sendo a primeira feita no cálculo anterior (1.d) de anel circular carregado eletricamente de forma homogênea. A 2a integral usa o resultado desse anel circular :

$$ \vec{E}(z_0) = \frac{Q\,z_0}{4\pi\epsilon_0 (z_0^2 + R^2)^{3/2}} \hat{k} $$

substituindo :

$ R \to r_a' $, que é o raio dos anéis compondo a casca esférica;
$ z_0 \to (z_0 - z_a') $, pois a varredura dos anéis compondo a casca esférica não está restrita ao plano $xy$;

e calculando o diferencial em relação a $Q$ :

$$ dQ = \sigma_0\,dA' = \sigma_0 (2\,\pi\,r_a') (R\,d\phi') $$

em que cada anel varrendo a casca esférica tem comprimento de circunferência $(2\pi\,r_a')$ e espessura $(R d\phi')$.

Vide as figuras para melhor compreensão :

$image.png$

Tal que o diferencial de campo elétrico é :

$$ d\vec{E} = \frac{dQ\,(z_0 - z_a')}{4\pi\epsilon_0 \left[ (z_0 - z_a')^2 + r_a'^2 \right]^{3/2}} \hat{k} $$

Vendo as figuras fica claro que :

$$ r_a' = R \sin \phi' $$$$ z_a' = R \cos \phi' $$$$ dQ = \sigma_0\,dA' = \sigma_0 (2\,\pi\,R \sin \phi') (R\,d\phi') = 2\,\pi\,\sigma_0\,R^2 \sin \phi'\,d\phi' $$

Logo :

$$ d\vec{E} = \frac{2\,\pi\,\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{4\pi\epsilon_0 \left[ (z_0 - R \cos \phi')^2 + (R \sin \phi')^2 \right]^{3/2}} \hat{k} $$

$$ \rightarrow \,\,\, d\vec{E} = \frac{\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{2\epsilon_0 \left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

Então basta integrar em relação a $\phi'$ de $0$ a $\pi$ para varrer a casca esférica :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \vec{E}(z_0) = \int d\vec{E} = \int_{0}^{\pi} \frac{\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{2\epsilon_0 \left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}(z_0) = \frac{\sigma_0\,R^2}{2\epsilon_0 } \int_{0}^{\pi} \frac{(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}(z_0) = \frac{\sigma_0\,R^2 z_0}{2\epsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} - \frac{\sigma_0\,R^3}{2\epsilon_0 } \int_{0}^{\pi} \frac{\cos \phi'\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

Mudando variáveis de integração para resolver as 2 integrais :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' $$$$ \rightarrow \,\,\, 2\,s'\,ds' = 0 + 0 - 2 z_0 R (- \sin \phi') d\phi' = 2 z_0 R \sin \phi' d\phi' $$$$ \rightarrow \,\,\, \sin \phi' d\phi' = \frac{s'\,ds'}{z_0 R} $$

Aplicando na 1a integral :

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{s'\,ds'}{|s'|^3} \hat{k} $$

$ s'(0) = s'(\phi'=0) $ :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos 0 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R = (z_0 - R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(0) = z_0 - R $$

$ s'(\pi) = s'(\phi'=\pi) $ :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \pi = z_0^2 + R^2 + 2 z_0 R = (z_0 + R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(\pi) = z_0 + R $$

Resolvendo em relação a $s'$ sendo positivo :

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{ds'}{s'^2} \hat{k} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{-1}{s'} \right]_{z_0 - R}^{z_0 + R} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{1}{z_0 - R} - \frac{1}{z_0 + R} \right] $$

Na 2a integral :

$$ R \cos \phi' = \frac{s'^2 - z_0^2 - R^2}{- 2 z_0} = \frac{z_0^2 + R^2 - s'^2}{2 z_0} $$

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_{II}(z_0) = -\frac{\sigma_0\,R}{4\epsilon_0 z_0^2} \int_{s(0)}^{s(\pi)} \frac{z_0^2 + R^2 - s'^2}{2 z_0} \frac{s'\,ds'}{|s'|^3} \hat{k} $$

(TAREFA PARA AULA SEGUINTE)¶

Mostrar o resultado de $\vec{E}_{II}(z_0)$, depois somando com o de $\vec{E}_{I}(z_0)$. Compare com campo elétrico de carga pontual centrada na origem, medido no eixo $z$.

Divergente e rotacional de campo elétrico $\vec{E}$¶

Divergente de $\vec{E}$ é nulo nos pontos em que não há carga elétrica :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\,\frac{N}{m\,C} $$

O caso não-nulo é visto adiante, na Lei de Gauss para campo elétrico.

Rotacional de $\vec{E}$ é nulo em Eletrostática :

$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}\,\frac{N}{m\,C} $$

Veremos mais adiante na disciplina que rotacional de $\vec{E}$ é não-nulo somente em Eletrodinâmica, ao se ter indução por campo magnético $\vec{B}$ variável no tempo.

Lei de Gauss para campo elétrico, na forma diferencial¶

Divergente de $\vec{E}$ é não-nulo somente nos pontos em que há carga elétrica :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho }{\epsilon_0} $$

onde $\rho$ é a densidade volumétrica de carga elétrica no ponto espacial em questão.

Essa Lei de Gauss para campo elétrico é a 1a equação de Maxwell, na forma diferencial.

Em aula posterior veremos mais detalhes, com forma integral, passagem de uma forma para outra, interpretação, etc.

Exercícios de cálculo aplicado de operadores diferenciais vetoriais¶

Divergente : $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}$¶

Revisão¶

Divergente é um operador diferencial vetorial que atua sobre função vetorial e gera função escalar.

Em coordenadas cartesianas 3D $(x, y, z)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

em coordenadas cilíndricas $(\rho, \theta, z)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\,(\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

em coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial\,(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial\,(sen \theta F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} $$

Exercício¶

Calcule o divergente em coordenadas esféricas :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{r}$$

Resolução do professor :

$$\vec{r} = r\,\hat{r} = \vec{F} = F_r \hat{r} + 0\,\hat{\theta} + 0\,\hat{\phi}$$$$F_r = r \quad,\quad F_{\theta} = 0 \quad,\quad F_\phi = 0 $$

Note que a expressão do divergente em coordenadas esféricas só é válida para $(r \ne 0\,m)$ e $(sen\,\theta \ne 0)$ :